Hilbertas plattibi

Iz Prūsiska Wikipēdija
Sākais en: nawigaciōni, laukīsna
(Ast teīkuns(si) nāunan pāusan "'''Hilbertas plattibi''' - en funkciōnalai analīzin līniska plattibi kīrsa kērmenin stēisan reālin adde…")
Rindā 1: Rindā 1:
'''Hilbertas plattibi''' - en [[funkciōnala analīzi|funkciōnalai analīzin]] līniska plattibi kīrsa [[kērmens (matemātiki)|kērmenin]] stēisan reālin adder kōmplaksiskan gīrbin sen [[skalāriska rēizinsna|skalāriskan rēizinsnan]], kawīda ast [[gānca plattibi|gāncan]] en metrīkei inducītan iz [[skalāriskan rēizinsnan]]. Erainā Hilbertas plattibi ast [[Banachas plattibi]], istwendau [[Frechet plattibi]] be istwendau lōkalai auktumma topolōgiska plattibi. Pastāne pabilītan pa [[David Hilbert|Davidas Hilbertas]] emnin. Hilbertas plattibis ast tērpautan en [[kwāntiska mekanīni|kwāntiskai mekanīkin]], harmōniskai analīzin, teōrijai stēisan diferenciālin līgibin be en kitēimans laūkans.
'''Hilbertas plattibi''' - en [[funkciōnala analīzi|funkciōnalai analīzin]] līniska plattibi kīrsa [[kērmens (matemātiki)|kērmenin]] stēisan reālin adder kōmplaksiskan gīrbin sen [[skalāriska rēizinsna|skalāriskan rēizinsnan]], kawīda ast [[gānca plattibi|gāncan]] en metrīkei inducītan iz [[skalāriskan rēizinsnan]]. Erainā Hilbertas plattibi ast [[Banachas plattibi]], istwendau [[Frechet plattibi]] be istwendau lōkalai auktumma topolōgiska plattibi. Pastāne pabilītan pa [[David Hilbert|Davidas Hilbertas]] emnin. Hilbertas plattibis ast tērpautan en [[kwāntiska mekanīni|kwāntiskai mekanīkin]], harmōniskai analīzin, teōrijai stēisan diferenciālin līgibin be en kitēimans laūkans.
 +
 +
===Definiciōni===
 +
 +
Skalāriska rēizinsna <math>\langle x,y\rangle</math> ast funkciōni, kawīda preipeisāi gīrbin iz kērmenin prei eraīnan pūran stēisan elamēntin, sen zemmans swajjistans:
 +
* Mainasnā stēisan elamēntin senjūnga rēizinsnas wērtibin
 +
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
 +
* Skalāriska rēizinsna ast līniskan en āntrai argumēntin
 +
::<math>\langle x, ay_1+by_2 \rangle = a\langle x, y_1\rangle + b\langle x, y_2\rangle.</math>
 +
(en ainuntamans kōnwencins en stessei pirman)
 +
* Skalāriska rēizinsna stēisan elamēntin be sen sin ast wisaddan ninegatīwan:
 +
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>
 +
be līgibi ast tēr kaddan <math>x=0</math>.
 +
 +
Iz pirman be āntran swajjistan ēit, kāi skalāriska rēizinsna ast antilīniskan en āntrai argumēntei. En reālai Hilbertas plattibimans skalāriska rēizinsna ast līniskan en abbeimas argumēntins.
 +
 +
Wektōras nōrmi ast definītan kāigi: :<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},</math> be etālisku sirzdau dwāi elamēntins ast definītan kāigi tenēisan šlaitīntan nōrmi :<math>d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.</math>.
 +
Pirmā be tirtī skalāriskas rēizinsnas swajjista dāst stawīdse distāncis simētrisku. Tirtī swajjista dāst, kāi distanci ast nulli tēr kaddan <math>x=y</math>. Skalāriska rēizinsna izpilnina Cauchy-Schwartz nilīgibin :<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>, ka garantijja trillunkis nilīgibin :<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).</math>.
 +
 +
 +
Kāi līniska plattibi sen skalāriskan rēizinsnan būlai Hilbertas plattibi, turri būtwei gāncan. Plattibi <math>H</math> sen metrīkin <math>d(xy)</math> ast gāncan, ka zentli kāi erainā rīpawisku <math>\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset H</math> izpilninantī Cauchy's audaīran:
 +
:: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{N \in \mathbb N}\; \forall_{m, n > N}\; d(a_m, a_n) < \varepsilon.</math>
 +
turri arāikan en plattibei <math>H</math>.
 +
 +
===Perwaidīnsnas===
 +
 +
* Lebegue'as plattibis:
 +
Plattibis stēisan reālin adder kōmplaksiskan funkciōnin iz plattibin sen mattan <math>(X,\mu)</math>, kawīdas izpilnina audaīran: :<math> \int_X |f|^2 d \mu  < \infty, </math> (integrīminisku sen kwadrātan). Skalāriska rēizinsna ast dātan kāigi: :<math>\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t).</math>.
 +
* Sirzdau Lebegue'as plattibin mazīngi šlaitīntun plattibis stēisan rīpawiskwan, kaddan mats ast diskrettan, perw. ''ℓ''<sup>2</sup> plattibi stēisan rīpawiskwas izpilnināntis āudairan: :<math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2 \infty</math> sen skalāriskan rēizinsnan: :<math>\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty \overline{z_n}w_n,</math>.
 +
* Ik mats ast diskrettan be tūlisku <math>X</math> ast wāngiskan, staddan plattibi ast izomōrfiskan sen <math>\mathbb{R}^n</math> adder <math>\mathbb{C}^n</math> sen skalāriskan rēizinsnan dātan kāigi: <math>\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i</math>.
 +
* Sobolewas plattibis:
 +
Plattibi stēisan diferenciālin funkciōnin kīrsa plattibin sen mattan, kawīdas ast integrīminan sen kwadrātan be turri izwessenins integrīminans sen kwadrātan. Skalāriska rēizinsnā ast definītan kāigi:
 +
::<math>\langle f,g\rangle = \int_\Omega \overline{f(x)}g(x)\,dx + \int_\Omega D \overline{f(x)}\cdot D g(x)\,dx + \cdots + \int_\Omega D^s \overline{f(x)}\cdot D^s g(x)\, dx</math>
[[Category:Matemātiki]]
[[Category:Matemātiki]]

Wersiōni kāigi iz 19:11, 26 daggis 2012

Persōniskas pagaptis